Operasi pada Akar-Akar Persamaan Kuadrat

December 29, 2018 | By Ibnu Rafi | Filed in: Zona Belajar Matematika.

Postingan ini membahas mengenai operasi pada akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\) dimana \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\) dan \(\displaystyle a\ne 0\). Operasi pada akar-akar persamaan kuadrat yang dimaksud pada postingan ini adalah operasi penjumlahan dan perkalian, serta kombinasinya. Sebagai ilustrasi, jika misalkan \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\), maka yang dimaksud dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah \(\displaystyle x_{1}+x_{2}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}\). Nah, pada postingan ini lebih menekankan pada cara menentukan hasil operasi tersebut tanpa menentukan nilai dari masing-masing akar tersebut.
Seperti yang telah dibahas pada postingan yang berjudul Dari Mana Rumus Kuadrat (ABC) Berasal?, bahwa apabila diberikan suatu persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\), maka akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut memenuhi \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\). Dengan demikian, apabila dipilih \(\displaystyle x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) dan \(\displaystyle x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\), maka diperoleh:

  • Operasi penjumlahan (hasil jumlah)

\(\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+ \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)

  • Operasi perkalian (hasil kali)

\(\displaystyle x_{1}x_{2}=\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{\left(-b\right)^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)}{4a^{2}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{4ac}{4a^{2}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)


Key Point

Misalkan \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\) dimana \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\) dan \(\displaystyle a\ne 0\). Hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut berturut-turut dinyatakan sebagai \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\).


Dengan memanfaatkan hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat di atas dan manipulasi bentuk aljabar, nantinya dapat diperoleh hasil operasi kombinasi antara operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Beberapa operasi kombinasi pada akar-akar persamaan kuadrat dijelaskan di bawah ini.

  • Selisih: \(\displaystyle x_{1}-x_{2}\)
\(\displaystyle x_{1}-x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}- \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\left(\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)-\left(\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right)\)

\(\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{2\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle\Leftrightarrow x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\).

  • Selisih kuadrat: \(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\)

\(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\)
\(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(\frac{-b}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)\)
\(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\frac{-b\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{2}}\)

  • Jumlah kuadrat: \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\)

Dari \(\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=x_{1}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\), diperoleh hasil bahwa \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\). Dengan demikian, \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}-2\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}\)

  • Jumlah pangkat tiga: \(\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\)

Untuk menentukan hasil dari \(\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\), terlebih dahulu disajikan hasil dari \(\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}\) sebagai berikut.
\(\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}=x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}^{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\). Dari penjabaran \(\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}\) tersebut, kita dapat menurunkan rumus untuk \(\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\), yaitu
\(\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(-\frac{b}{a}\right)^{3}-3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\frac{-b^{3}}{a^{3}}+\frac{3bc}{a^{2}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\frac{-b^{3}+3abc}{a^{3}}=\frac{3abc-b^{3}}{a^{3}}\).

  • Selisih pangkat tiga: \(\displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}\)

Sama halnya dengan menurunkan rumus jumlah pangkat tiga, untuk menurunkan rumus selisih pangkat tiga, terlebih dahulu dijabarkan hasil dari \(\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}\) sebagai berikut.
\(\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}=x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\). Dari penjabaran ini, dapat diturunkan rumus \(\displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}\), yaitu
\(\displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)^{3}+3\left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}+\frac{3c\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{2}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}+3ac\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-4ac+3ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\frac{\left(b^{2}-ac\right)\sqrt{b^{2}-4ac}}{a^{3}}\)

  • Jumlah pangkat empat: \(\displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}\)

Dari \(\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}=x_{1}^{4}+2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}\), dapat diturunkan rumus \(\displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}\), yaitu \(\displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}\)

  • Selisih pangkat empat: \(\displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}\)

\(\displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\right)\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\right)\).


Key Point

Misalkan \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\) dimana \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\) dan \(\displaystyle a\ne 0\). Beberapa operasi (kombinasi) pada akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah sebagai berikut.

  • Selisih: \(\displaystyle x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\)
  • Selisih kuadrat: \(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\)
  • Jumlah kuadrat: \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\)
  • Jumlah pangkat tiga: \(\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\)
  • Selisih pangkat tiga: \(\displaystyle x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}+3x_{1}x_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)\)
  • Jumlah pangkat empat: \(\displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}\)
  • Selisih pangkat empat: \(\displaystyle x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)\)

Agar lebih memahami operasi pada akar-akar persamaan kuadrat, berikut disajikan soal dan pembahasan terkait dengan operasi pada akar persamaan kuadrat.

Soal [UN 2014]

Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}-5x+k+3=0\) dan \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13\). Nilai \(\displaystyle k\) yang memenuhi adalah….
A. \(\displaystyle 0\)
B. \(\displaystyle 3\)
C. \(\displaystyle 6\)
D. \(\displaystyle 9\)
E. \(\displaystyle 18\)

Pembahasan

Karena \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}-5x+k+3=0\), berarti \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-5}{1}=5\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{k+3}{1}=k+3\). Dengan demikian,
\(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}=13\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 5^{2}-2(k+3)=13\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 25-2k-6=13\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow -2k=-6\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow k=3\).
Jawaban: B

Soal [UM UGM 2006 IPA Kode 372]

Jumlah kuadrat akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}-3x+n=0\) sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}+x-n=0\). Maka nilai \(\displaystyle n\) adalah….
A. \(\displaystyle -10\)
B. \(\displaystyle -6\)
C. \(\displaystyle 8\)
D. \(\displaystyle 10\)
E. \(\displaystyle 12\)

Pembahasan

Misalkan \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persaman \(\displaystyle x^{2}-3x+n=0\). Akibatnya, \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{n}{1}=n\). Lagi, misalkan \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}+x-n=0\). Akibatnya, \(\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{1}{1}=-1\) dan \(\displaystyle \alpha\beta=\frac{-n}{1}=-n\). Selanjutnya, dari informasi pada soal, diperoleh bahwa \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\alpha^{3}+\beta^{3}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}=\left(\alpha+\beta\right)^{3}-3\alpha\beta\left(\alpha+\beta\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 3^{2}-2n=\left(-1\right)^{3}-3\left(-n\right)\left(-1\right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 9-2n=-1-3n\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow n=-10\).
Jawaban: A

Latihan Soal

  1. [UN 2014] Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}+(p-3)x+4=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Jika \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p-5\), maka nilai \(\displaystyle p\) yang memenuhi adalah….
  2. Akar-akar dari persamaan \(\displaystyle x^{2}+5x-6=0\) adalah \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\). Tentukanlah nilai dari \(\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\).
  3. [UN B47 2012] Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}+ax-4=0\) adalah \(\displaystyle p\) dan \(\displaystyle q\). Jika \(\displaystyle p^{2}-2pq+q^{2}=8a\), maka nilai \(\displaystyle a=\)….
  4. [UAN 2003] Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}+5x+1=0\) adalah \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\), maka nilai \(\displaystyle \frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}\) sama dengan….
  5. [SPMB-MA-03-15] Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}+6x+c=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)x+4=0\) adalah \(\displaystyle u\) dan \(\displaystyle v\). Jika \(\displaystyle u+v=-uv\), maka \(\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=\)….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.
Sekian.
Stay hungry and stay foolish.

Referensi

[1] https://www.math-only-math.com/symmetric-functions-of-roots-of-a-quadratic-equation.html
 


Tags: , , , , , , , , , , , ,

2 comments on “Operasi pada Akar-Akar Persamaan Kuadrat

  1. jejakandi says:

    Salut untuk dedikasinya menulis dan berbagi. Salam.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *