Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

December 29, 2018 | By Ibnu Rafi | Filed in: Zona Belajar Matematika.

Salah satu butir soal matematika yang sering muncul dalam Ujian Nasional (UN) jenjang SMA adalah soal mengenai persamaan kuadrat baru.

Misalkan diberikan persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\) yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) yang kemudian kita diminta menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle px_{1}-q\) dan \(\displaystyle px_{2}-q\) dengan \(\displaystyle p\in\mathbb{R}-\left \{0 \right \}\) dan \(\displaystyle q\in\mathbb{R}\). Adapun untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa alternatif penyelesaian sebagai berikut.

Alternatif 1

Misalkan \(\displaystyle k=px-q\). Kemudian nyatakan dalam \(\displaystyle x\) dalam \(\displaystyle k\) , yaitu \(\displaystyle x=\frac{k+q}{p}\).

Substitusikan \(\displaystyle x=\frac{k+q}{p}\) ke persamaan kuadrat awal, sehingga diperoleh
\(\displaystyle a\left(\frac{k+q}{p}\right)^{2}+b\left(\frac{k+q}{p}\right)+c=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow a\left(\frac{k^{2}+2qk+q^{2}}{p^{2}}\right)+b\left(\frac{k+q}{p}\right)+c=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{p^{2}}k^{2}+\frac{2aq}{p^{2}}k+\frac{aq^{2}}{p^{2}}+\frac{b}{p}k+\frac{bq}{p}+c=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{p^{2}}k^{2}+\frac{2aq}{p^{2}}k+\frac{b}{p}k+\frac{aq^{2}}{p^{2}}+\frac{bq}{p}+c=0\) …(kalikan kedua ruas dengan \(\displaystyle p^{2}\))
\(\displaystyle \Leftrightarrow ak^{2}+2aqk+bpk+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow ak^{2}+\left(2aq+bp\right)k+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0\)
Dari hasil ini, ubah setiap variabel \(\displaystyle k\) dengan variabel \(\displaystyle x\), sehingga diperoleh bahwa persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\(\displaystyle ax^{2}+\left(2aq+bp\right)x+aq^{2}+bpq+cp^{2}=0\)

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(3x_{1}-1\right)\) dan \(\displaystyle \left(3x_{2}-1\right)\) adalah…

A. \(\displaystyle x^{2}-x-38=0\)
B. \(\displaystyle x^{2}+x-32=0\)
C. \(\displaystyle x^{2}+x+12=0\)
D. \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\)
E. \(\displaystyle x^{2}-x-12=0\)

Pembahasan

Misalkan \(\displaystyle k=3x-1\). Jika \(\displaystyle x\) dinyatakan dalam \(\displaystyle y\) , maka diperoleh \(\displaystyle x=\frac{k+1}{3}\). Kemudian, hasil ini disubstitusikan pada persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\) sedemikian sehingga diperoleh

\(\displaystyle 3\left(\frac{k+1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 3\left(\frac{k^{2}+2k+1}{9}\right)-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{k^{2}+2k+1}{3}\right)-\left(\frac{k+1}{3}\right)-4=0\)…(kalikan kedua ruas dengan \(\displaystyle 3\))
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(k^{2}+2k+1\right)-\left(k+1\right)-12=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow k^{2}+k-12=0\)
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\).
Jawaban: D

Alternatif 2

Tentukan terlebih dahulu nilai \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) dengan cara memfaktorkan persamaan kuadrat awal yang diberikan. Setelah itu, tentukan nilai dari \(\displaystyle px_{1}-q\) dan \(\displaystyle px_{2}-q\). Adapun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle px_{1}-q\) dan \(\displaystyle px_{2}-q\) adalah \(\displaystyle \left(x-\left(px_{1}-q\right)\right)\left(x-\left(px_{2}-q\right)\right)=0\).

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(3x_{1}-1\right)\) dan \(\displaystyle \left(3x_{2}-1\right)\) adalah…

A. \(\displaystyle x^{2}-x-38=0\)
B. \(\displaystyle x^{2}+x-32=0\)
C. \(\displaystyle x^{2}+x+12=0\)
D. \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\)
E. \(\displaystyle x^{2}-x-12=0\)

Pembahasan

\(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\Leftrightarrow \left(3x-4\right)\left(x+1\right)=0\). Karena \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar dari \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\), berarti \(\displaystyle x_{1}=\frac{4}{3}\) dan \(\displaystyle x_{2}=-1\). Akibatnya, \(\displaystyle 3x_{1}-1=3\left(\frac{4}{3}\right)-1=3\) dan \(\displaystyle 3x_{2}-1=3\left(-1\right)-1=-4\). Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\(\displaystyle \left(x-3\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+4x-3x-12=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x-12=0\)
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\).
Jawaban: D

Alternatif 3

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\) dinyatakan sebagai

\(\displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0\).

Catatan Apabila akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0 \) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\), maka berlaku \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} \).

Soal [UN SMA Program IPA tahun 2017]

Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(3x_{1}-1\right)\) dan \(\displaystyle \left(3x_{2}-1\right)\) adalah…

A. \(\displaystyle x^{2}-x-38=0\)
B. \(\displaystyle x^{2}+x-32=0\)
C. \(\displaystyle x^{2}+x+12=0\)
D. \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\)
E. \(\displaystyle x^{2}-x-12=0\)

Pembahasan

Karena \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-x-4=0\), berlaku \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{-4}{3}\) . Misalkan \(\displaystyle \alpha=3x_{1}-1\) dan \(\displaystyle \beta=3x_{2}-1\).

  • \(\displaystyle \alpha+\beta=3x_{1}-1+3x_2-1=3\left(x_{1}+x_{2}\right)-2=3\left(\frac{1}{3}\right)-2=-1\)
  • \(\displaystyle \alpha\beta=\left(3x_{1}-1\right)\left(3x_{2}-1\right)=9x_1x_2-3\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=-12\)

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah

\(\displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}-\left(-1\right)x+\left(-12\right)=0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+x-12=0\).
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah \(\displaystyle x^{2}+x-12=0\).
Jawaban: D

Baca juga: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru (Bagian 2)

Latihan Soal

  1. [UN AP12 dan BP 45 2011] Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 3x^{2}-12x+2=0 \) adalah \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(\alpha+2\right)\) dan \(\displaystyle \left(\beta+2\right)\) adalah….
  2. [UN IPS 2018] Akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^{2}-3x+5=0 \) adalah \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(\alpha+2\right)\) dan \(\displaystyle \left(\beta+2\right)\) adalah….
  3. [UN IPS 2018] Jika \(\displaystyle p\) dan \(\displaystyle q\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle -x^{2}+7x-6=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \left(p-2\right)\) dan \(\displaystyle \left(q-2\right)\) adalah….
  4. [UN AP12 dan BP45 2010] Jika \(\displaystyle p\) dan \(\displaystyle q\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}-5x-1=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle 2p+1\) dan \(\displaystyle 2q+1\) adalah….
  5. [UN AP12 2007] Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}-5x+6=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle x_{1}-3\) dan \(\displaystyle x_{2}-3\) adalah….
  6. [UN BP45 2007] Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}-x+2=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle 2x_{1}-2\) dan \(\displaystyle 2x_{2}-2\) adalah….
  7. [UN AP12 dan BP45 2010] Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}-4x+3=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle 2x_{1}+5\) dan \(\displaystyle 2x_{2}+5\) adalah….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.

Sekian.

Stay hungry and stay foolish.


Tags: , , , , ,

One comment on “Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

  1. […] postingan Menentukan Persamaan Kuadrat Baru telah dibahas cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah dan dengan dan […]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *