Menentukan Persamaan Kuadrat Baru (Bagian 2)

December 29, 2018 | By Ibnu Rafi | Filed in: Zona Belajar Matematika.

Pada postingan Menentukan Persamaan Kuadrat Baru telah dibahas cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle px_{1}-q\) dan \(\displaystyle px_{2}-q\) dengan \(\displaystyle p\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\) dan \(\displaystyle q\in\mathbb{R}\) dimana \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\). Adapun postingan kali ini membahas mengenai cara menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mengandung operasi antara \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\); misal \(\displaystyle x_{1}+x_{2}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}\), \(\displaystyle 2+\frac{x_{2}}{x_{1}}\) dan \(\displaystyle 2+\frac{x_{1}}{x_{2}}\), \(\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) dan \(\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\), \(\displaystyle x_{1}+x_{2}\) dan \(\displaystyle x_{1}-x_{2}\), dsb.

Misalkan \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\) [1]. Ini berarti \(\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0\Leftrightarrow x^2-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0\) [2]. Apabila kedua ruas [2] dikalikan dengan \(\displaystyle a\), diperoleh \(\displaystyle ax^2-a\left(x_{1}+x_{2}\right)x+ax_{1}x_{2}=0\) [3]. Berdasarkan kesamaan bentuk antara [1] dan [3], diperoleh:

  • \(\displaystyle b=-a\left(x_{1}+x_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)
  • \(\displaystyle c=ax_{1}x_{2}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)

Dengan demikian, jika \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\) adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah \(\displaystyle x^{2}-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha\beta=0\).


Key Point

Metode dasar untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama adalah sebagai berikut. (1) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat lama; (2) Menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru dengan memanfaatkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang lama; dan (3) Membentuk persamaan kuadrat baru dengan bentuk umumnya adalah \(\displaystyle x^2-\)(jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru)\(\displaystyle x+\)(hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru)\(\displaystyle =0\).


Baca juga: Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Soal [EBT-SMA-01-06]

Akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}+6x-12=0\) adalah \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\). Persamaan baru yang akar-akarnya adalah \(\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}\) adalah…
A. \(\displaystyle x^{2}+9x-18=0\)
B. \(\displaystyle x^{2}-21x-18=0\)
C. \(\displaystyle x^{2}+21x+36=0\)
D. \(\displaystyle 2x^{2}+21x-36=0\)
E. \(\displaystyle 2x^{2}+21x-18=0\)

Pembahasan

Karena \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar dari persamaan \(\displaystyle x^{2}+6x-12=0\), berarti berlaku \(\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-6}{1}=-6\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}=\frac{-12}{1}=-12\). Akibatnya, diperoleh hasil bahwa:

  • Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru

\(\displaystyle \left(\frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\right)+x_{1}x_{2}=\frac{3\left({x_{1}}+{x_{2}}\right)}{x_{1}x_{2}}+x_{1}x_{2}=\frac{3\left(-6\right)}{-12}+\left(-12\right)=\frac{-21}{2}\)

  • Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru

\(\displaystyle \left(\frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\right)x_{1}x_{2}=\left[\frac{3\left({x_{1}}+{x_{2}}\right)}{x_{1}x_{2}}\right]x_{1}x_{2}=\frac{3\left(-6\right)}{-12}\left(-12\right)=-18\)

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}\) adalah \(\displaystyle x^{2}-\left(\frac{-21}{2}\right)x+(-18)=0\Leftrightarrow 2x^{2}+21x-36=0\).
Jawaban: D

Latihan Soal

  1. [EBTANAS 2001] Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^{2}+6x-5=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}\) dan \(\displaystyle x_{1}x_{2}\) adalah….
  2. [SBMPTN MADAS 2014] Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^{2}+3x+1=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle 2+\frac{x_{2}}{x_{1}}\) dan \(\displaystyle 2+\frac{x_{1}}{x_{2}}\) adalah….
  3. Jika \(\displaystyle x_{1}\) dan \(\displaystyle x_{2}\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^{2}-9x+1=0\), maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\displaystyle \frac{1}{x_{1}x_{2}^{2}}\) dan \(\displaystyle \frac{1}{x_{1}^{2}x_{2}}\) adalah….

NB: Apabila ada hal-hal yang belum dipahami terkait dengan penjelasan di atas ataupun kritik dan saran yang membangun, maka jangan enggan untuk menuliskan pertanyaan atau kritik dan saran dari teman-teman di kolom komentar.
Sekian.
Stay hungry and stay foolish.
 


Tags: , , , , , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *